Question

已知函數(shù)f（x）=

kx-b

x2+1

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（

1

2

）=

4

5

．
（1）求f（x）的解析式
（2）判斷并用單調(diào)性的定義證明f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=

kx-b

x2+1

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（

1

2

）=

4

5

．可得f（0）=0，且f（

1

2

）=

4

5

．解出即可．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

kx-b

x2+1

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（

1

2

）=

4

5

．
∴f（0）=0，且f（

1

2

）=

4

5

．
∴

b=0 1 2 k-b 1 4 +1 = 4 5

，解得b=0，k=2．
∴f（x）=

2x

x2+1

．x∈（-1，1）．
（2）函數(shù)f（x）在x∈（-1，1）單調(diào)遞增．
證明：?-1＜x₁＜x₂＜1，則x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0，

x

2 1

+1＞0，

x

2 2

+1＞0．
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1

x 2 1 +1

-

2x2

x 2 2 +1

=

2(x2-x1)(x1x2-1)

(x12+1)( x 2 2 +1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在x∈（-1，1）單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．