Question

有以下四個命題：
（1）2ⁿ＞2n+1（n≥3）；
（2）2+4+6+…+2n=n²+n+2（n≥1）；
（3）凸n邊形內(nèi)角和為f（n）=（n-1）π（n≥3）；
（4）凸n邊形對角線條數(shù)f（n）=

n(n-2)

2

（n≥4）．
其中滿足“假設(shè)n=k（k∈N，k≥n₀）．時命題成立，則當n=k+1時命題也成立．”但不滿足“當n=n₀（n₀是題中給定的n的初始值）時命題成立”的命題序號是

 

．

Answer 1

分析：對于命題（1）可以驗證當n等于給定的初始值成立，所以不滿足條件．
對于命題（2）容易驗證假設(shè)n=k時命題成立，則當n=k+1時命題也成立．對于初始值n=1時，不成立．所以滿足條件．
對于命題（3）容易驗證假設(shè)n=k時命題成立，則當n=k+1時命題也成立．對于初始值n=3內(nèi)角和為π，不成立．故滿足條件．
對于命題（4）凸n邊形對角線條數(shù)f（n）=

n(n-2)

2

，假設(shè)n=k時命題成立，當n=k+1時多了一條邊，即多了一個頂點，故多了k個對角線，則可以驗證當n=k+1時不成立．不滿足要求．

解答：解：對于命題（1）2ⁿ＞2n+1（n≥3）；當n=3的時候有8＞7，故當n等于給定的初始值成立，所以不滿足條件．
對于命題（2）2+4+6+…+2n=n²+n+2（n≥1）；假設(shè)n=k時命題成立，即2+4+6+…+2k=k²+k+2，當n=k+1時有2+4+6+…+2k+2（k+1）=k²+k+2+2（k+1）=k²+2k+1+k+3=（k+1）²+（k+1）+2．故對n=k+1時命題也成立．對于初始值n=1時有4≠4+2+2，不成立．所以滿足條件．
對于命題（3）凸n邊形內(nèi)角和為f（n）=（n-1）π（n≥3）；假設(shè)n=k時命題成立，即f（k）=（k-1）π，當n=k+1時有f（k+1）=
f（k）+π=kπ故對n=k+1時命題也成立，對于初始值n=3內(nèi)角和為π，不成立．故滿足條件．
對于命題（4）凸n邊形對角線條數(shù)f（n）=

n(n-2)

2

，假設(shè)n=k時命題成立，即f（k）=

k(k-2)

2

，當n=k+1時有f（k+1）=f（k）+k=

k(k-2)

2

+k=

k2

2

≠

(k+1)(k-1)

2

，故不滿足條件．
故答案為（2）（3）．

點評：此題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的驗證過程，屬于概念性試題，有一定的計算量，對學(xué)生靈活應(yīng)用能力要求較高，屬于中檔題目．