Question

7．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x）．當(dāng)x∈（0，2），f（x）=ln（x²-x+b）．若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，1]∪{$\frac{5}{4}$}．

Answer 1

分析 先根據(jù)函數(shù)的奇偶性分析出奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上有零點(diǎn)x=-2，x=0，x=2，所以原問題等價(jià)為：f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)必有唯一零點(diǎn)，再結(jié)合圖象求解．

解答 解：∵f（x+4）=f（x），且f（x）奇函數(shù)，
∴令x=-2代入上式得，f（2）=f（-2）=-f（2），
所以，f（2）=0且f（-2）=0，
所以，f（x）在區(qū)間[-2，2]上有零點(diǎn)x=-2，x=0，x=2，
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上有5個(gè)零點(diǎn)，
則f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)必有唯一零點(diǎn)，
即方程x²-x+b=1在（0，2）內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)根，
分離參數(shù)b得，b=-x²+x+1=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，x∈（0，2），
結(jié)合函數(shù)g（x）=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$的圖象，如右圖（實(shí)線）
要使g（x）=b只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則b∈（g（2），g（1）]=（-1，1]，
另外，當(dāng)b=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$（過頂點(diǎn)），也符合題意，
又因?yàn)�，�?dāng)x∈（0，2）時(shí)，真數(shù)x²-x+b=（x-$\frac{1}{2}$）²+b-$\frac{1}{4}$≥b-$\frac{1}{4}$＞0，
所以，b＞$\frac{1}{4}$，
故實(shí)數(shù)b的取值范圍為：（$\frac{1}{4}$，1]∪{$\frac{5}{4}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及函數(shù)的奇偶性和函數(shù)零點(diǎn)的確定，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．