Question

（本題滿分15分） 設點為圓上的動點，過點作軸的垂線，垂足為．動點滿足（其中，不重合）．
（Ⅰ）求點的軌跡的方程；
（Ⅱ）過直線上的動點作圓的兩條切線，設切點分別為．若直線與（Ⅰ）中的曲線交于兩點，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）

解：（Ⅰ）設點M(x,y),由，由于點P在上，則，
即M的軌跡方程為.                    ……4′
（Ⅱ）設點T(-2,t)，，則AT，BT的方程為：，，
又點T(-2,t) 在AT、BT上，則有：
①，②，由①、②知AB的方程為：. ……3′
設點，則圓心O到AB的距離，
；又由，得，于是
，，于是
于是，    ……3′
設，則，于是，設，于是，設，，令，得m=1/4.
得f(m)在(0,1/4】上單調遞增，故.
即的范圍為                                   ……5′
思路分析：第一問中利用向量的關系式消元法得到軌跡方程。設點M(x,y),由，由于點P在上，則，
第二問，設點T(-2,t)，，則AT，BT的方程為：，，
又點T(-2,t) 在AT、BT上，則有：
①，②，由①、②知AB的方程為：. ……3′
設點，則圓心O到AB的距離
；又由，得，于是
，，于是
構造函數(shù)求解得到。