Question

某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開車到單位B處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如如圖所示．（例如：A→C→D算作兩個(gè)路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為）．
（1）請你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小；
（2）若記路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的概率分布．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)楦髀范伟l(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P₁可以做出，路線A→C→F→B中遇到堵車的概率，路線A→E→F→B中遇到堵車的概率，進(jìn)行比較得到結(jié)果．
（2）由題意知路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)X可取值為0，1，2，3．結(jié)合變量對應(yīng)的事件，寫出變量的分布列和期望．
解答：解：（1）記路段MN發(fā)生堵車事件為MN，MN∈{AC，CD，BD，BF，CF，AE，EF}．
因?yàn)楦髀范伟l(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P₁為
1-P（••）
=1-P（）P（）P（）
=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]
=；
同理，路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P₂為
1-P（••）=（小于）；
路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P₃為
1-P（••）=（大于）．
顯然要使得由A到B的路線途中發(fā)生堵車事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇．
因此選擇路線A→C→F→B，可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最�。�
（2）路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)X可取值為0，1，2，3．
P（X=0）=P（••）=，
P（X=1）=P（AC••）+P（•CF•）+P（••FB）
=，
P（X=2）=P（AC•CF•）+P（AC•FB）+P（•CF•FB）
=，
P（X=3）=P（••）=．
∴X的概率分布為

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望問題，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難．