Question

某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開(kāi)車(chē)到單位B處上班，若該地各路段發(fā)生堵車(chē)事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車(chē)事件最多只有一次，發(fā)生堵車(chē)事件的概率如如圖所示．（例如：A→C→D算作兩個(gè)路段：路段AC發(fā)生堵車(chē)事件的概率為

1

10

，路段CD發(fā)生堵車(chē)事件的概率為

1

15

）．
（1）請(qǐng)你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發(fā)生堵車(chē)事件的概率最小；
（2）若記路線A→C→F→B中遇到堵車(chē)次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的概率分布．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楦髀范伟l(fā)生堵車(chē)事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車(chē)事件最多只有一次，所以路線A→C→D→B中遇到堵車(chē)的概率P₁可以做出，路線A→C→F→B中遇到堵車(chē)的概率，路線A→E→F→B中遇到堵車(chē)的概率，進(jìn)行比較得到結(jié)果．
（2）由題意知路線A→C→F→B中遇到堵車(chē)次數(shù)X可取值為0，1，2，3．結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，寫(xiě)出變量的分布列和期望．

解答：解：（1）記路段MN發(fā)生堵車(chē)事件為MN，MN∈{AC，CD，BD，BF，CF，AE，EF}．
因?yàn)楦髀范伟l(fā)生堵車(chē)事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車(chē)事件最多只有一次，所以路線A→C→D→B中遇到堵車(chē)的概率P₁為
1-P（

.

AC

•

.

CD

•

.

DB

）
=1-P（

.

AC

）P（

.

CD

）P（

.

DB

）
=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]
=1-

9

10

×

14

15

×

5

6

=

3

10

；
同理，路線A→C→F→B中遇到堵車(chē)的概率P₂為
1-P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

）=

239

800

（小于

3

10

）；
路線A→E→F→B中遇到堵車(chē)的概率P₃為
1-P（

.

AE

•

.

EF

•

.

FB

）=

91

300

（大于

3

10

）．
顯然要使得由A到B的路線途中發(fā)生堵車(chē)事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇．
因此選擇路線A→C→F→B，可使得途中發(fā)生堵車(chē)事件的概率最�。�
（2）路線A→C→F→B中遇到堵車(chē)次數(shù)X可取值為0，1，2，3．
P（X=0）=P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

）=

561

800

，
P（X=1）=P（AC•

.

CF

•

.

FB

）+P（

.

AC

•CF•

.

FB

）+P（

.

AC

•

.

CF

•FB）
=

1

10

×

17

10

×

11

12

+

9

10

×

3

20

×

11

12

+

9

10

×

17

20

×

1

12

=

637

2400

，
P（X=2）=P（AC•CF•

.

FB

）+P（AC

.

CF

•FB）+P（

.

AC

•CF•FB）
=

1

10

×

3

20

×

11

12

+

1

10

×

17

20

×

1

12

+

9

10

×

3

20

×

1

12

=

77

2400

，
P（X=3）=P（AC•CF•FB）=

1

10

×

3

20

×

1

12

=

3

2400

．
∴X的概率分布為

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望問(wèn)題，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來(lái)理科高考必出的一個(gè)問(wèn)題，題目做起來(lái)不難．