Question

已知函數(shù)，．
（Ⅰ）若函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)直線為函數(shù)的圖象上一點處的切線．證明：在區(qū)間上存在唯一的，使得直線與曲線相切．

Answer 1

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為

：（Ⅰ）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)可求得增區(qū)間，（Ⅱ）先寫出切線方程，證明唯一。
解：（Ⅰ） ，
．            ……………………2分
∵且，
∴，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．   ……………………4分
（Ⅱ）∵ ，∴，
∴ 切線的方程為，
即，　�、�                        ……………………6分
設(shè)直線與曲線相切于點，
∵，∴，∴．      ……………………8分
∴直線的方程為，
即，　�、�               ……………………9分
由①②得 ，
∴．                                       …………………11分
下證：在區(qū)間上存在且唯一：
由（Ⅰ）可知，在在區(qū)間上遞增．
又，，    ……………13分
結(jié)合零點存在性定理，說明方程必在區(qū)間上有唯一的根，這個根就是所求的唯一．                                              
故結(jié)論成立．           ………………14分