Question

已知實數x，y，z滿足：（x-1）²+y²+z²=1，則2x+2y+z的最大值是

5

．

Answer 1

分析：換元：設x-1=w，得w²+y²+z²=1，利用柯西不等式得（2w+2y+z）²≤（2²+2²+1²）（w²+y²+z²）．因此當且僅當w=y=

2

3

，z=

1

3

時，2w+2y+z的最大值為3，進而得到2x+2y+z的最大值為3+2=5．

解答：解：設x-1=w，得（x-1）²+y²+z²=w²+y²+z²=1
∴2x+2y+z=2w+2y+z+2
∵（2w+2y+z）²≤（2²+2²+1²）（w²+y²+z²）=9
∴-3≤2w+2y+z≤3，
當且僅當

2

w

=

2

y

=

1

z

，即w=y=

2

3

，z=

1

3

時，2w+2y+z的最大值為3
由此可得：2x+2y+z的最大值為3+2=5
故答案為：5

點評：本題給出關于x、y、z的二次等式，求2x+2y+z的最大值．著重考查了柯西不等式的應用，考查了換元的數學思想，屬于中檔題．