Question

7．已知公差為d的等差數(shù)列{a_n}滿足：a_n+a_n+1=2n，n∈N^*．
（Ⅰ）求首項a₁和公差d，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令${b_n}={（{-1}）^{n+1}}\frac{n}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）公差為d的等差數(shù)列{a_n}滿足：a_n+a_n+1=2n，n∈N^*．令n=1，2，可得a₁+a₂=2，a₂+a₃=4，解得d，即可得出a₁，利用通項公式即可得出．．
（II）由a_n+a_n+1=2n，n∈N^*．變形${b_n}={（{-1}）^{n+1}}\frac{n}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}（-1）^{n+1}•\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}[\frac{（-1）^{n+1}}{{a}_{n+1}}-\frac{（-1）^{n}}{{a}_{n}}]$，利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（I）∵公差為d的等差數(shù)列{a_n}滿足：a_n+a_n+1=2n，n∈N^*．
令n=1，2，可得a₁+a₂=2，a₂+a₃=4，
∴2d=2，解得d=1，
∴2a₁+d=2，解得a₁=$\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2}+（n-1）×1$=n-$\frac{1}{2}$．
（II）∵a_n+a_n+1=2n，n∈N^*．
∴${b_n}={（{-1}）^{n+1}}\frac{n}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}（-1）^{n+1}•\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}[\frac{（-1）^{n+1}}{{a}_{n+1}}-\frac{（-1）^{n}}{{a}_{n}}]$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}[\frac{（-1）^{n+1}}{{a}_{n+1}}-\frac{（-1）^{1}}{{a}_{1}}]$=1+$\frac{（-1）^{n+1}}{2n+1}$．

點評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．