【題目】如圖，已知在矩形中，為邊的中點，將沿直線折起到（平面）的位置，為線段的中點.

（1）求證：平面；

（2）已知，當平面平面時，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）延長與相交于點,連接，根據(jù)中位線證明，得到證明.

（2）證明，以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，計算平面的一個法向量為，根據(jù)夾角公式計算得到答案.

（1）延長與相交于點,連接,

∵為邊的中點，四邊形為矩形，

∴,,∴為的中位線，∴為線段的中點，

∵為線段的中點，∴∵平面，平面,

∴平面.

（2）∵,為邊的中點，∴,即,

取線段的中點,連接,,則由平面幾何知識可得,,

又∵四邊形為矩形，,為邊的中點，

∴,,

∵平面平面，平面平面,,

∴平面，

∵平面，∴,

∴以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，

則,,,,,,,,

設平面的一個法向量為，則，即，

不妨取，則，，即，

設直線與平面所成角為，則

，

∴直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對于定義域內(nèi)任意的，恒成立，求的取值范圍；

（3）記，若在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若.

（�。┣笄�在點處的切線方程；

（ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極大值的個數(shù)．

（2）若在內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù).

(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在三個極值點，且，求的取值范圍，并證明:.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，且與交于，兩點，已知點的極坐標為.

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程，并求的值；

（2）若矩形內(nèi)接于曲線且四邊與坐標軸平行，求其周長的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點為平面內(nèi)一定點，動點為平面內(nèi)曲線上的任意一點，且滿足，過原點的直線交曲線于兩點.

（1）證明：直線與直線的斜率之積為定值；

（2）設直線，交直線于、兩點，求線段長度的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)其中

（1）當時,求曲線在點處的切線方程;

（2）當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（3）若對于恒成立,求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，若底面是正三角形，側(cè)棱長，、分別為棱、的中點，并且，則異面直線與所成角為______；三棱錐的外接球的體積為______．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在多面體中，四邊形是正方形，平面，，，為的中點.

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成角的正弦值.

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