Question

夏都廣場地面噴泉的噴頭用鑄鐵防護罩保護，防護罩的圖案如圖所示，外圈是正方形．正方形的對角線長為2a，在正方形內作一個內切圓；在第一個內切圓內又作一個內接正方形，在正方形內再作第二個內切圓；然后又在第二個內切圓中作內接正方形，在正方形內再作第三個內切圓，…，依此作到第n個內切圓，它的半徑是

(

2

2

)na

．

Answer 1

分析：先根據(jù)正方形的對角線長為2a，求出正方形的邊長為

2

a，即為第二正方形的對角線的長，從而求出第一個內切圓的半徑，同理求出第二個內切圓的半徑，然后歸納推理得到第n個內切圓的半徑．

解答：解：∵正方形的對角線長為2a，
∴正方形的邊長為

2

a，即為第二正方形的對角線的長
∵在正方形內作一個內切圓，則邊長即為內切圓的直徑
∴第一個內切圓的半徑為

2

2

a
第一個內切圓的半徑為

2

2

×

2

2

a=(

2

2

)2a
依此類推得作到第n個內切圓，它的半徑是(

2

2

)na
故答案為：(

2

2

)na

點評：本題主要考查了數(shù)列的應用，以及正方形的內切圓的半徑的求解和歸納推理，屬于中檔題．