Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圓C₂：（x-4）²+（y-5）²=1．
（I）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn) A（4，0），且被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，求直線(xiàn)l的方程；
（II）若從圓C₁的圓心發(fā)出一束光線(xiàn)經(jīng)直線(xiàn)x-y-3=0反射后，反射線(xiàn)與圓C₂有公共點(diǎn)，試求反射線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率的范圍．

Answer 1

分析 （I）因?yàn)橹本�(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A（4，0），故可以設(shè)出直線(xiàn)l的點(diǎn)斜式方程，又由直線(xiàn)被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，根據(jù)半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距滿(mǎn)足勾股定理，我們可以求出弦心距，即圓心到直線(xiàn)的距離，得到一個(gè)關(guān)于直線(xiàn)斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線(xiàn)l的方程．
（II）圓C₁的圓心（-3，1）經(jīng)直線(xiàn)x-y-3=0對(duì)稱(chēng)后的點(diǎn)記為 A（4，-6），直線(xiàn)與圓C₂有公共點(diǎn)即直線(xiàn)與圓相交或相切，故利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列出關(guān)于k的不等式，即可求反射線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率的范圍．

解答 解：（I）由于直線(xiàn)x=4與圓C₁不相交；
∴直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)l方程為：y=k（x-4）
圓C₁的圓心到直線(xiàn)l的距離為d，∵l被⊙C₁截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$
∴d=1
∴d=$\frac{|-1-7k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，從而k（24k+7）=0即k=0或k=-$\frac{7}{24}$
∴直線(xiàn)l的方程為：y=0或$y=-\frac{7}{24}（{x-4}）$，即y=0或7x+24y-28=0．
（II）圓C₁的圓心（-3，1）經(jīng)直線(xiàn)x-y-3=0對(duì)稱(chēng)后的點(diǎn)記為 A（4，-6），
設(shè)反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)的斜率為k，則反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為y+6=k（x-4）⇒kx-y-4k-6=0．
圓C₂的圓心（4，5）．
直線(xiàn)與圓C₂有公共點(diǎn)即直線(xiàn)與圓相交或相切，則$d=\frac{{|{4k-5-4k-6}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}≤1$⇒$\sqrt{{k^2}+1}≥11$
⇒k²≥120⇒$k≤-2\sqrt{30}$或$k≥2\sqrt{30}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩直線(xiàn)垂直時(shí)斜率滿(mǎn)足的關(guān)系，關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的特點(diǎn)，切線(xiàn)的性質(zhì)．解決與圓相關(guān)的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，我們有三種方法：一是直接求出直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得出；二是不求交點(diǎn)坐標(biāo)，用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，即設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，直線(xiàn)與圓聯(lián)立消去y后得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程再利用弦長(zhǎng)公式求解，三是利用圓中半弦長(zhǎng)、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形來(lái)求．對(duì)于圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般利用第三種方法比較簡(jiǎn)捷．