Question

．(本小題滿分14分)設(shè)拋物線的方程為，為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為,.
（1）當(dāng)的坐標(biāo)為時(shí)，求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程，并判斷直線與此圓的位置關(guān)系；
（2）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；
（3）當(dāng)變化時(shí)，試探究直線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

解：(1)當(dāng)的坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，代入，整理得，
令，解得，
代入方程得，故得，      ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823202017004399.png" style="vertical-align:middle;" />到的中點(diǎn)的距離為，
從而過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為．
易知此圓與直線相切.             ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）證法一：設(shè)切點(diǎn)分別為,,過(guò)拋物線上點(diǎn)的切線方程為，代入，整理得    
，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823202017784553.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．．．．．．．．．．．．．．．．5分
從而過(guò)拋物線上點(diǎn)的切線方程為即
又切線過(guò)點(diǎn)，所以得    ①  即
同理可得過(guò)點(diǎn)的切線為，
又切線過(guò)點(diǎn)，所以得    ②  即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即點(diǎn)，均滿足即，故直線的方程為                                 ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又為直線上任意一點(diǎn)，故對(duì)任意成立，所以，從而直線恒過(guò)定點(diǎn)       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
證法二：設(shè)過(guò)的拋物線的切線方程為，代入，消去，得    
即：．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
從而，此時(shí)，
所以切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232020186271183.png" style="vertical-align:middle;" />，，
，
所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為
故直線的方程為，即.．．．．．．．．．．．．．．7分
又為直線上任意一點(diǎn)，故對(duì)任意成立，所以，從而直線恒過(guò)定點(diǎn)       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
證法三：由已知得，求導(dǎo)得，切點(diǎn)分別為,，故過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，從而切線方程為即
又切線過(guò)點(diǎn)，所以得    ①  即
同理可得過(guò)點(diǎn)的切線為，
又切線過(guò)點(diǎn)，所以得    ②  
即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即點(diǎn)，均滿足即，故直線的方程為                    ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又為直線上任意一點(diǎn)，故對(duì)任意成立，所以，從而直線恒過(guò)定點(diǎn)       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（3）解法一：由（2）中①②兩式知是方程的兩實(shí)根，故有

（*）
將，，代入上（*）式得
∴
，    ．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
①當(dāng)時(shí)，，直線上任意一點(diǎn)均有，為直角三角形；                                                ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
②當(dāng)時(shí)，，，不可能為直角三角形；
．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
③當(dāng)時(shí)，，.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232020186271183.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以
若，則，整理得，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823202020967516.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823202020998753.png" style="vertical-align:middle;" />有解的充要條件是.
所以當(dāng)時(shí)，有或，為直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分
綜上所述，當(dāng)時(shí)，直線上任意一點(diǎn)，使為直角三角形，當(dāng)時(shí)，直線上存在兩點(diǎn)，使為直角三角形；當(dāng)或時(shí)，不是直角三角形.
．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
解法二：由（2）知，且是方程的兩實(shí)根，即，從而，
所以
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，直線上任意一點(diǎn)均有，為直角三角形；                                                ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，與不垂直。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232020186271183.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以
若，則，整理得，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823202020967516.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823202020998753.png" style="vertical-align:middle;" />有解的充要條件是.
所以當(dāng)時(shí)，有或，為直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分
綜上所述，當(dāng)時(shí)，直線上任意一點(diǎn)，使為直角三角形，當(dāng)時(shí)，直線上存在兩點(diǎn)，使為直角三角形；當(dāng)或時(shí)，不是直角三角形.
．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

略