Question

已知圓x²+y²=8，定點P(4，0)，問過P點的直線的斜率在什么范圍內取值時，這條直線與已知圓：(1)相切，(2)相交，(3)相離，并寫出過P點的切線方程.

Answer 1

解析：解法一  設過P點的直線的斜率為k(由已知k存在)，則其方程為y=k(x-4)

由  消去y，得x²+k²(x-4)²=8，

即(1+k²)x²-8k²x+16k²-8=0,

Δ=(-8k²)²-4(1+k²)(16k²-8)=32(1-k²).

(1)令Δ=0，即      32(1-k²)=0,

∴ 當k=±1時，直線與圓相切，切線方程為

x-y-4=0或x+y-4=0.

(2)令Δ＞0，即32(1-k²)＞0,-1＜k＜1,

∴ 當-1＜k＜1時，直線與圓相交.

(3)令Δ＜0，即32(1-k²)＜0,k＞1或k＜-1,

∴ 當k＜-1或k＞1時，直線與圓相離.

解法二：設圓心到直線的距離為d，則

(1)d=r，即，∴k²=1，∴k=±1時直線與圓相切，其切線方程為    x-y-4=0或x+y-4=0.

(2)d＜r，即，∴ k²＜1，即-1＜k＜1時直線與圓相交.

(3)d＞r，即， ∴ k²＞1，即k＜-1或k＞1時直線與圓相離.