Question

設(shè)等差數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為S_n，且S₄=4S₂，．
（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{ }滿足，求{}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）是否存在實(shí)數(shù)K，使得T_n恒成立.若有，求出K的最大值，若沒(méi)有，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）a_n=2n﹣1，n∈N^*；（2）；（3）.

試題分析：（1）由于{a_n}是等差數(shù)列，故只需求出其首項(xiàng)a₁和公差d即可得其通項(xiàng)公式.由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得方程組：，這個(gè)方程組中，看起來(lái)有3個(gè)未知數(shù)，但n抵消了(如果n不能抵消，則左右兩邊對(duì)應(yīng)系數(shù)相等)，故實(shí)質(zhì)上只有兩個(gè)未知數(shù).解這個(gè)方程組即可（也可以取n=2）.（2）首先求出{b_n}的通項(xiàng)公式. 已知求，則.在本題中，由已知可得：當(dāng)n≥2時(shí)，，顯然，n=1時(shí)符合．由（1）得，a_n=2n﹣1，n∈N^*．從而，n∈N^*．這個(gè)數(shù)列用錯(cuò)位相消法便可求得其和．（3）T_n恒成立，則.為了求，需要研究的單調(diào)性，為了研究的單調(diào)性，需考查的符號(hào).
試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得：，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=2n﹣1，n∈N^*．（2）由已知，得：
當(dāng)n=1時(shí)，，
當(dāng)n≥2時(shí)，，顯然，n=1時(shí)符合．
∴，n∈N^*，由（1）知，a_n=2n﹣1，n∈N^*．∴，n∈N^*．
又，∴，
兩式相減得：
所以．
（3），
所以單調(diào)遞增，
所以，
所以.