Question

17．已知離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的橢圓r：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)M（0，1），過(guò)點(diǎn)M引兩條互相垂直的直線l₁，l₂，若P為橢圓上任意一點(diǎn)，記P到兩直線的距離分別為d₁，d₂，則d₁²+d₂²的最大值為$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，b=1，可得a，可得：橢圓r的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．由題意可知：直線l₁，l₂的斜率都存在且不為0，設(shè)直線l₁方程：y=kx+1，l₂方程：y=-$\frac{1}{k}$x+1．設(shè)P（x₀，y₀）（0≤|y₀|≤1），則${x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}$=4．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得d₁²+d₂²=${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$-2y₀+1=$-3{y}_{0}^{2}$-2y₀+5，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，∴a=2b．
∵橢圓r：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)M（0，1），
∴b=1，
∴a=2．
∴橢圓r的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
由題意可知：直線l₁，l₂的斜率都存在且不為0，
設(shè)直線l₁方程：y=kx+1，l₂方程：y=-$\frac{1}{k}$x+1．
設(shè)P（x₀，y₀）（0≤|y₀|≤1），則${x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}$=4．
∴d₁²+d₂²=$\frac{（k{x}_{0}-{y}_{0}+1）^{2}}{1+{k}^{2}}$+$\frac{（-\frac{1}{k}{x}_{0}-{y}_{0}+1）^{2}}{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$
=$\frac{（k{x}_{0}-{y}_{0}+1）^{2}+（{x}_{0}+k{y}_{0}-k）^{2}}{1+{k}^{2}}$=${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$-2y₀+1
=$-3{y}_{0}^{2}$-2y₀+5
=-3$（{y}_{0}+\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{16}{3}$，
∴當(dāng)${y}_{0}=-\frac{1}{3}$時(shí)，d₁²+d₂²的最大值為$\frac{16}{3}$．
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．