Question

8．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)$P（0，\sqrt{3}）$，離心率e=$\frac{1}{2}$，A為橢圓C₁上的一點(diǎn)，B為拋物線C₂：y²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x上一點(diǎn)，且A為線段OB的中點(diǎn)．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$b=\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可得出；
（2）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則B點(diǎn)坐標(biāo)為（2x₀，2y₀），分別代入橢圓和拋物線方程得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1}\\{（2{y}_{0}）^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}（2{x}_{0}）}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）∵橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)$P（0，\sqrt{3}）$，離心率e=$\frac{1}{2}$，
∴$b=\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，聯(lián)立解得$b=\sqrt{3}$，c=1，a=2．
∴橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則B點(diǎn)坐標(biāo)為（2x₀，2y₀），分別代入橢圓和拋物線方程得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1}\\{（2{y}_{0}）^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}（2{x}_{0}）}\end{array}\right.$，
消去y₀并整理得：$3{x}_{0}^{2}+\sqrt{3}{x}_{0}$-12=0，解得x₀=$\sqrt{3}$或$-\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
當(dāng)x₀=$\sqrt{3}$時(shí)，解得y₀=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$；
當(dāng)${x}_{0}=-\frac{4\sqrt{3}}{3}$時(shí)，y₀無解．
∴直線AB的方程為y=$±\frac{1}{2}x$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．