Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=-6×2¹⁰，點（n，2a₊₁-a_n）在直線y=2¹¹x上，設(shè)b_n=a_n+1-a_n+t，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（1）求出實數(shù)t；（2）令c_n=|log₂b_n|，問從第幾項開始，數(shù)列{c_n}中連續(xù)20項之和為100？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點在正弦上得到數(shù)列{a_n}的項的遞推關(guān)系，將此代入

bn

bn-1

，由于數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，得到此商一個為常數(shù)，令2¹¹+2t=t，求出t的值．
（2）利用等比數(shù)列的通項公式求出b_n，將t的值代入b_n然后將b_n代入c_n，通過對k的討論，將絕對值符號去掉，利用等差數(shù)列的前n項和求出連續(xù)20項之和列出方程求出開始的項．

解答：解：（1）由題設(shè)知2a_n+1=a_n+2¹¹n，從而an+1=

1

2

(an+211n)
當n＞1時，

bn

bn-1

=

an+1-an+t

an-an-1+t

=

an-an-1+211+t

2(an-an-1+t)

，
若{b_n}是等比數(shù)列，則2¹¹+2t=t，
故t=-2¹¹．
（2）∵{b_n}是以

1

2

為公比的等比數(shù)列，首項為a₂-a₁+t，
∴bn=(a2-a1-211)(

1

2

)n-1
∵a2=

1

2

(a1+211)=

1

2

(-6•210+211)，a₂-a₁-2¹¹=2¹¹
∴bn=211(

1

2

)n-1=212-n
∴c_n=|n-12|，
假設(shè){c_n}從第k項起連續(xù)20項之和為100，
當k≥12時，c_k+c_k+1+…+c_k+19≥c₁₂+c₁₃+…+c₃₁=190≥100不合題意，
當k＜12時，c_k+c_k+1+…+c_k+19=12-k+11-k+…+1+0+1+…+k+7=k²-5k+106=100
解得k=2或3，
所以數(shù)列{c_n}從第二項或長三項起連續(xù)20項之和為100．

點評：求數(shù)列的前n項和問題，應(yīng)該先求出數(shù)列的通項，然后選擇合適的求和方法．常見的求和方法有：公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組法．