Question

某國(guó)由于可耕地面積少，計(jì)劃從今年起的五年填湖圍造一部分生產(chǎn)和生活用地，若填湖費(fèi)、購(gòu)置排水設(shè)備費(fèi)等所需經(jīng)費(fèi)與當(dāng)年所填湖造地面積x（畝）的平方成正比，其比例系數(shù)為a，設(shè)每畝水面的年平均經(jīng)濟(jì)效益為b元，填湖造地后的每畝土地的年平均收益為c元（其中a，b，c均為常數(shù)）．
（1）若按計(jì)劃填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，試求所填面積x的最大值．
（2）如果填湖造地面積按每年1%的速度減少，為保證水面的畜洪能力和環(huán)保要求，填湖造地的總面積不能超過(guò)現(xiàn)有水面面積的25%，求今年填湖造地的面積最多只能占現(xiàn)有水面的百分之幾．
注：根據(jù)下列近似值進(jìn)行計(jì)算：
0.99²≈0.98，0.99²≈0.97，0.99⁴≈0.96，0.99⁵≈0.95，0.99⁶≈0.94，0.99⁷≈0.93．

Answer 1

分析：（1）依題意收益不小于支出的條件可以表示為cx≥ax²+bx，化簡(jiǎn)的x[ax-（c-b）]≤0，故只需分別看c-b≤0和c-b＞0兩種情況下

c-b

a

和x的關(guān)系．
（2）設(shè)該地現(xiàn)在水面m畝，今年填湖造地x畝．依題意可得到關(guān)系式，進(jìn)而求出x的范圍．

解答：解：（1）收益不小于支出的條件可以表示為cx≥ax²+bx，
所以ax²+（b-c）x≤0，x[ax-（c-b）]≤0．
當(dāng)c-b≤0，即

c-b

a

≤x≤0時(shí)，此時(shí)不能填湖造地，
當(dāng)c-b＞0，即0≤x≤

c-b

a

時(shí)，此時(shí)所填面積的最大值為

c-b

a

畝；
（2）設(shè)該地現(xiàn)在水面m畝，今年填湖造地x畝．
則x+（1-1%）x+（1-1%）²x+（1-1%）³x+（1-1%）⁴x≤0.25m，
即

x(1-0.995)

1-0.99

≤

m

4

，所以x≤

m

20

，
因此今年填湖造地面積最多只能占現(xiàn)有水面的

1

20

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的求和問(wèn)題．?dāng)?shù)列的求和問(wèn)題是數(shù)列重要內(nèi)容之一常與函數(shù)、不等式、極限等一塊考查，平時(shí)應(yīng)多積累求和的各種方法．