Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=a^x-1，其中a＞0且a≠1，
（1）求f（2）+f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）解關(guān)于x的不等式-1＜f（x-1）＜4，結(jié)果用集合或區(qū)間表示．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，知f（2）+f（-2）=f（2）-f（2）=0．
（2）當(dāng)x＜0時，-x＞0，f（-x）=a^-x-1，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，-f（x）=a^-x-1，即f（x）=-a^-x+1．由此能求出f（x）的解析式．
（3）不等式等價于

x-1＜0 -1＜-a-x+1+1＜4

或

x-1≥0 -1＜ax-1-1＜4

．當(dāng)a＞1時，有

x＜1 x＞1-loga2

或

x≥1 x＜1+loga5

，此時不等式的解集為（1-log_a2，1+log_a5）．同理可得，當(dāng)0＜a＜1時，不等式的解集為R．由此能求出關(guān)于x的不等式-1＜f（x-1）＜4的解集．

解答：解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（2）+f（-2）=f（2）-f（2）=0．
（2）當(dāng)x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）=a^-x-1，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴-f（x）=a^-x-1，即f（x）=-a^-x+1．
∴f(x)=

ax-1，x≥0 -a-x+1，x＜0

．
（3）不等式等價于

x-1＜0 -1＜-a-x+1+1＜4

或

x-1≥0 -1＜ax-1-1＜4

．
當(dāng)a＞1時，有

x＜1 x＞1-loga2

或

x≥1 x＜1+loga5

，注意此時log_a2＞0，log_a5＞0．
可得此時不等式的解集為（1-log_a2，1+log_a5）．
同理可得，當(dāng)0＜a＜1時，不等式的解集為R．
綜上所述，當(dāng)a＞1時，不等式的解集為（1-log_a2，1+log_a5）．
當(dāng)0＜a＜1時，不等式的解集為（-∞，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的奇偶性的靈活運(yùn)用．