Question

已知點P是圓x²+y²=4上的任意一點，點M、N依次為點P在x軸、y軸上的投影，若

OQ

=

3

2

OM

+

1

2

ON

，點Q的軌跡未曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點P作都有斜率的直線l₁、l₂，使得l₁、l₂與曲線C都只有一個公共點，試判斷l(xiāng)₁、l₂是否垂直？并說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出Q，P的坐標，結(jié)合

OQ

=

3

2

OM

+

1

2

ON

把P的坐標用Q的坐標表示，代入圓的方程后整理求得曲線C的方程；
（Ⅱ）由P（x₀，y₀）在圓上可得x02+y02=4，由直線l₁、l₂都有斜率，設(shè)經(jīng)過點P（x₀，y₀）與橢圓只有一個公共點的直線為y=k（x-x₀）+y₀，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，由△=0化簡整理得：(3-x02)k2+2x0y0k+1-y02=0．把x02+y02=4代入得(3-x02)k2+2x0y0k+(x02-3)=0，則k₁，k₂是關(guān)于k的方程(3-x02)k2+2x0y0k+(x02-3)=0的兩個實根．由根與系數(shù)關(guān)系得k₁•k₂=-1，即l₁⊥l₂．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)Q（x，y），P（x₀，y₀），則

OM

=(x0，0)，

ON

=(0，y0)，
由

OQ

=

3

2

OM

+

1

2

ON

得，

x= 3 2 x0 y= 1 2 y0

，∴

x0= 2 3 x y0=2y

，
代入x02+y02=4，得(

2

3

x)2+(2y)2=4，
即

x2

3

+y2=1，
∴曲線C的方程為

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）P（x₀，y₀），則x02+y02=4，
已知直線l₁、l₂都有斜率，設(shè)經(jīng)過點P（x₀，y₀）與橢圓只有一個公共點的直線為y=k（x-x₀）+y₀，
由

y=kx+(y0-kx0) x2 3 +y2=1

，消去y得：
(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0．
由△=0化簡整理得：(3-x02)k2+2x0y0k+1-y02=0．
把x02+y02=4代入上式得：(3-x02)k2+2x0y0k+(x02-3)=0．
設(shè)l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，
已知l₁、l₂與曲線C都只有一個公共點，則k₁，k₂是關(guān)于k的方程(3-x02)k2+2x0y0k+(x02-3)=0的兩個實根．
∴k₁•k₂=-1，即l₁⊥l₂．

點評：本題考查了直線和圓的方程的應(yīng)用，考查了平面向量的坐標運算，聯(lián)立直線和橢圓方程后靈活代入x02+y02=4是解答（Ⅱ）的關(guān)鍵，是壓軸題．