Question

16．已知F₁，F(xiàn)₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的交點(diǎn)，過F₂作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P和Q，且△F₁PQ為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x．

Answer 1

分析 利用直角三角形中含30°角所對的邊的性質(zhì)及其雙曲線的定義、勾股定理即可得到a，b的關(guān)系．

解答 解：∵在Rt△F₁F₂P中，∠PF₁F₂=30°，∴|PF₁|=2|PF₂|．
由雙曲線定義知|PF₁|-|PF₂|=2a，∴|PF₂|=2a，
由已知易得|F₁F₂|=$\sqrt{3}$|PF₂|，∴2c=2$\sqrt{3}$a，∴c²=3a²=a²+b²，
∴2a²=b²，∵a＞0，b＞0，∴$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，故所求雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x．
故答案為y=±$\sqrt{2}$x．

點(diǎn)評 熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．