Question

選修4-1：幾何證明選講
已知C點(diǎn)在⊙O直徑BE的延長線上，CA與⊙O切于A點(diǎn)，∠ACB的平分線CD交AE于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)D．
（Ⅰ）求證：AD=AF；
（Ⅱ）若AB=AC，求

AC

BC

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等角對等邊，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）先證明△BCA∽△ACE，再確定∠CAE=∠B=∠ACB=30°，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵CA與⊙O切于A點(diǎn)，∴∠CAE=∠E，
又∵CD是∠ACB的平分線，∴∠ACD=∠DCB，…（2分）
∴∠ADF=∠B+∠DCB=∠CAE+∠ACD=∠AFD，…（4分）
∴AD=AF；                                 …（5分）
（Ⅱ）∵AB=AC，∴∠CAE=∠B=∠ACB，
又∵∠ACB=∠ACB，…（6分）
∴△BCA∽△ACE，
∴

AC

BC

=

AE

AB

，…（8分）
又∵180°=∠ACE+∠CAE+∠AEC=∠ACE+∠CAE+（90°+∠ABE），
∴∠CAE=∠B=∠ACB=30°，
∴

AC

BC

=

AE

AB

=

3

3

．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形的相似，解題的關(guān)鍵是確定角的相等關(guān)系，屬于中檔題．