Question

設(shè)a＞1，函數(shù)f（x）=a^x+1-2．
（1）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（2）若f^-1（x）在[0，1]上的最大值與最小值互為相反數(shù)，求a的值；
（3）若f^-1（x）的圖象不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求原函數(shù)f（x）=a^x+1-2的反函數(shù)，即從原函數(shù)式中反解出x，后再進(jìn)行x，y互換，即得反函數(shù)的解析式．
（2）先研究f^-1（x）在[0，1]的單調(diào)性，得到當(dāng)x取何值時(shí)，此函數(shù)取得最值，最后得到等式：f^-1（0）+f'（1）=0，解此關(guān)于a方程即可求得a值；
（3）由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知，f^-1（x）的圖象不經(jīng)過第二象限的充要條件是f^-1（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)位于x軸的非負(fù)半軸上，從而列出等式求出圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)x=a-2，令其非負(fù)即可求得a的取值范圍．
解答：解：（1）因?yàn)閍^x+1＞0，
所以f（x）的值域是{y|y＞-2}．（2分）
設(shè)y=a^x+1-2，解得x=log_a（y+2）-1，
則f^-1（x）=log_a（x+2）-1，{x|x＞-2}．
（2）解：當(dāng)a＞1時(shí)，f^-1（x）=log_a（x+2）-1為（-2，+∞）上的增函數(shù)，（6分）
所以f^-1（0）+f'（1）=0即（log_a2-1）+（log_a3-1）=0
解得a=．
所以f（x）的反函數(shù)為f^-1（x）=log_a（x+2）-1，（x＞-2）．（4分）
（3）解：當(dāng)a＞1時(shí)，
函數(shù)f^-1（x）是（-2，+∞）上的增函數(shù)，且經(jīng)過定點(diǎn)（-1，-1）．
所以f^-1（x）的圖象不經(jīng)過第二象限的充要條件是f^-1（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)位于x軸的非負(fù)半軸上．（11分）
令log_a（x+2）-1=0，解得x=a-2，
由a-2≥0，解得a≥2．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查反函數(shù)的求法、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象變換及其性質(zhì)，屬于對(duì)數(shù)函數(shù)綜合題目．