Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP⊥平面ABC．
（1）求證：OD∥平面PAB；
（2）當(dāng)k=

1

2

時(shí)，求直線(xiàn)PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）當(dāng)k為何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：方法一：（Ⅰ）首先利用中位線(xiàn)得出線(xiàn)線(xiàn)平行，進(jìn)一步利用線(xiàn)面平行的判定定理得出結(jié)論．
（Ⅱ）先作出線(xiàn)面角，由題意知，OD∥PA，故可轉(zhuǎn)化為求OD與面PBC的夾角問(wèn)題，由題設(shè)條件知取BC的中點(diǎn)E，連PE，則O在線(xiàn)PE上的垂足必在PE上，設(shè)其為F，則可證得∠ODF所求的線(xiàn)面角，下?lián)�條件求之．
（Ⅲ）若F是重心，則必有BFD三點(diǎn)共線(xiàn)，又D是中點(diǎn)，故定有BC=PB，可求得k=1．

解答： （Ⅰ）證明：在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)
∴OD∥AP
∵AP?平面PAB，OD?平面PAB
∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）∵AB⊥BC  OA=OC
∴OA=OB=OC
又∵OP⊥平面ABC
∴PA=PB=PC
取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)PE，
則：BC⊥平面POE
作OF⊥PE于F，連結(jié)DF，
則：DF⊥平面PBC
∴∠ODF是DO與平面PBC所成的角．
由OD∥PA
∴∠ODF是PA與平面PBC所成的角
在Rt△ODG中，sin∠ODF=

OF

OD

=

210

30

PA與平面PBC所成的角為：crsin

210

30

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：OF⊥平面PBC
∴F是O在平面PBC內(nèi)的射影．
∵D是PC的中點(diǎn)，
若點(diǎn)F是△PBC的重心，
則：B、F、D三點(diǎn)共線(xiàn)．
所以，直線(xiàn)OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線(xiàn)BD．
∵OB⊥PC
PC⊥BD
∴PB=BC
即：k=1
反之，當(dāng)k=1時(shí)，三棱錐O-PBC為正三棱錐．
O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線(xiàn)面的夾角問(wèn)題，及由位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程求參數(shù)，重點(diǎn)考查空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力．