Question

9．已知a，b∈R⁺，a+b=1，x₁，x₂∈R⁺．
（Ⅰ）求$\frac{x_1}{a}+\frac{x_2}+\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}$的最小值；  
（Ⅱ）求證：（ax₁+bx₂）（ax₂+bx₁）≥x₁x₂．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\frac{x_1}{a}+\frac{{x{\;}_2}}+\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}≥3•\root{3}{{\frac{x_1}{a}•\frac{{x{\;}_2}}•\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}}}≥3•\root{3}{{\frac{2}{{{{（\frac{a+b}{2}）}^2}}}}}=3\root{3}{8}=6$，驗(yàn)證等號(hào)成立即可；
（2）展開(kāi)已知式子左邊，由基本不等式和完全平方式可得．

解答 解：（1）∵a，b∈R₊，a+b=1，x₁，x₂∈R₊，
∴$\frac{x_1}{a}+\frac{{x{\;}_2}}+\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}≥3•\root{3}{{\frac{x_1}{a}•\frac{{x{\;}_2}}•\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}}}≥3•\root{3}{{\frac{2}{{{{（\frac{a+b}{2}）}^2}}}}}=3\root{3}{8}=6$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x_1}{a}=\frac{x_2}=\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}$時(shí)取等號(hào)，
故式子的最小值為6；
（2）∵a，b∈R₊，a+b=1，x₁，x₂∈R₊，
∴（ax₁+bx₂）（ax₂+bx₁）
=a²x₁x₂+abx₁²+abx₂²+b²x₁x₂
=（a²+b²）x₁x₂+ab（x₁²+x₂²）
≥（a²+b²）x₁x₂+2abx₁x₂
=（a²+b²+2ab）x₁x₂
=（a+b）²x₁x₂
=x₁x₂，
當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時(shí)，取等號(hào)，
∴（ax₁+bx₂）（ax₂+bx₁）≥x₁x₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值和基本不等式證明不等式，屬中檔題．