Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+ln（x+1）}{x}$，若不等式f（x）$＞\frac{k}{x+1}$對(duì)任意正實(shí)數(shù)x恒成立，則整數(shù)k的最大值是3．

Answer 1

分析 整理式子得$\frac{1+ln（x+1）}{x}$（x+1）＞k，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{1+ln（x+1）}{x}$（x+1）=1+ln（x+1）+$\frac{1+ln（x+1）}{x}$，只需利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的最小值即可．

解答 解：∵f（x）$＞\frac{k}{x+1}$
∴$\frac{1+ln（x+1）}{x}$（x+1）＞k
令g（x）=$\frac{1+ln（x+1）}{x}$（x+1）=1+ln（x+1）+$\frac{1+ln（x+1）}{x}$
∴g'（x）=$\frac{x-1-ln（x+1）}{{x}^{2}}$
∵g'（2）=$\frac{1-ln3}{{x}^{2}}$＜0，g'（3）=$\frac{2-ln4}{9}$＞0
∴存在x₀∈（2，3），使得g'（x₀）=0即x₀=1+ln（x₀+1）
∴g（x）≥g（x₀）=1+ln（x₀+1）+$\frac{1+ln（{x}_{0}+1）}{{x}_{0}}$
=x₀+1∈（3，4）
故整數(shù)k的最大值為3．

點(diǎn)評(píng) 考察了恒成立問(wèn)題和利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值．難道是對(duì)導(dǎo)函數(shù)的觀察，確定極值點(diǎn)的范圍．