Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，a_n=4-

4

an-1

（n＞1），其中n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足c_n=

4

anan+1

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的乘積為T_n，試證明：2012T₂₀₁₁＞

1

2013

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

1

an-2

=

1

2

+

1

an-1-2

，由此能求出an=

2

n

+2．
（2）由c_n=

4

anan+1

=

4

( 2 n +2)( 2 n+1 +2)

=

n

n+2

，得到T_n=

1

3

×

2

4

×

3

5

×

4

6

×…×

n

n+2

=

2

(n+1)(n+2)

，由此能證明2012T₂₀₁₁＞

1

2013

．

解答： 解：（1）∵a₁=4，a_n=4-

4

an-1

（n＞1），

a_n-2=2-

4

an-1

=2•

an-1-2

an-1

，
∴

1

an-2

=

1

2

+

1

an-1-2

，
又

1

a1-2

=

1

2

，
∴{

1

an-2

}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為

1

2

的等差數(shù)列，
∴

1

an-2

=

n

2

，∴an=

2

n

+2．
（2）∵c_n=

4

anan+1

=

4

( 2 n +2)( 2 n+1 +2)

=

n

n+2

，
∴T_n=

1

3

×

2

4

×

3

5

×

4

6

×…×

n

n+2

=

2

(n+1)(n+2)

，
∴2012T₂₀₁₁=2012×

2

2012×2013

=

2

2013

＞

1

2013

．
∴2012T₂₀₁₁＞

1

2013

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．