Question

函數(shù)f（x）=

ax2+2

x+b

是奇函數(shù)，且f（1）=3．
（1）求實數(shù)a，b的值．
（2）用定義法證明f（x）在(0，

2

]上是減函數(shù)；
（3）求f（x）在（0，+∞）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于函數(shù)f（x）=

ax2+2

x+b

是奇函數(shù)，且f（1）=3．可得f（-1）=

a+2

-1+b

=-3，f（1）=

a+2

1+b

=3．解出即可．
（2）利用減函數(shù)的定義即可證明；
（3）利用基本不等式即可得出．

解答： （1）解：∵函數(shù)f（x）=

ax2+2

x+b

是奇函數(shù)，且f（1）=3．
∴f（-1）=

a+2

-1+b

=-3，f（1）=

a+2

1+b

=3．
解得a=1，b=0．
∴f（x）=

x2+2

x

=x+

2

x

．
（2）證明：?0＜x₁＜x₂≤

2

，
則x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜2，即x₁x₂-2＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）=x1+

2

x1

-(x2+

2

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在(0，

2

]上是減函數(shù)．
（3）∵x∈（0，+∞），
∴f(x)≥2

x• 2 x

=2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

時取等號．
∴f（x）在（0，+∞）的值域是[2

2

，+∞)．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、值域、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．