Question

（本題滿分14分）

已知半徑為的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線相切．

（1）求圓的方程；

（2）設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3） 在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得弦的垂直平分線過點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）；

（3）存在實(shí)數(shù)使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦AB

【解析】(1)設(shè)圓心M（m,0）,根據(jù)圓與直線4x+3y-29=0相切，半徑為5,可建立關(guān)于m的方程，求出m的值1.

（2）利用圓心到直線的距離小于半徑建立關(guān)于a的不等式求解即可.

（3）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，由于直線l與直線AB垂直，則直線的斜率為

的方程為，即

由于垂直平分弦AB，故圓心必在上，據(jù)此可建立關(guān)于a的方程，通過方程是否有解再結(jié)合（2）求的a的取值范圍，判定a值是否存在.

解：（Ⅰ）設(shè)圓心為（）．由于圓與直線相切，且半徑為，所以 ，即．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810423155075500/SYS201209081042572971143492_DA.files/image017.png">為整數(shù)，故．

故所求圓的方程為． …………………………………4分

 （Ⅲ）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，由于，則直線的斜率為

的方程為，即

由于垂直平分弦AB，故圓心必在上，

所以，解得.由于，故存在實(shí)數(shù)

使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦AB………………………14分