Question

在區(qū)間[0，π]上，關(guān)于α的方程5sinα+4=|5cosα+2|解的個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：利用換元法，令5cosα=x，5sinα=y，則原方程化為y+4=|x+2|，x，y滿足x²+y²=25，于是，方程5sinα+4=|5cosα+2|解的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值函數(shù)圖象與半圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．

解答： 解：令

x=5cosα y=5sinα

，α∈[0，π]，則x²+y²=25，y∈[0，5]．
從而方程5sinα+4=|5cosα+2|化為y=|x+2|-4，
當(dāng)x≥-2時(shí)，y=x-2；當(dāng)x＜-2時(shí)，y=-x-6，
由此，作出y=|x+2|-4的圖象，
考察x²+y²=25的上半圓與函數(shù)y=|x+2|-4的圖象，可知兩圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，
故α的值唯一，即關(guān)于α的方程5sinα+4=|5cosα+2有1個(gè)解．

點(diǎn)評(píng)：1．本題若直接解三角方程，計(jì)算量較大，運(yùn)用換元及數(shù)形結(jié)合思想，將三角方程轉(zhuǎn)化為半圓與絕對(duì)值函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，思路非常巧妙，大大簡(jiǎn)化了求解過(guò)程．
2．本題考查了圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，對(duì)于方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般有以下兩種方法：
（1）幾何法：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化為兩圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題；
（2）代數(shù)法：聯(lián)立方程組，消去適當(dāng)?shù)脑�，得到一個(gè)一元二次方程，根據(jù)判別式△判斷．