Question

已知函數和點P(1，0)，過點P作曲線y＝f(x)的兩條切線PM、PN，切點分別為M、N．

(Ⅰ)設，試求函數g(t)的表達式；

(Ⅱ)是否存在t，使得M、N與A(0，1)三點共線．若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下，若對任意的正整數n，在區(qū)間內總存在m＋1個實數a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使得不等式g(a₁)＋g(a₂)＋…＋g(a_m)＜g(a_m+1)成立，求m的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)設M、N兩點的橫坐標分別為x1、x2， 　　∵，－－－2分 　　∴切線PM的方程為：， 　　又∵切線PM過點P(1，0)，∴有， 　　即，(1) 　　同理，由切線PN也過點P(1，0)，得．(2) 　　由(1)、(2)，可得x1，x2是方程的兩根，(*) 　　， 　　把(*)式代入，得， 　　因此，函數g(t)的表達式為．－－－4分 　　(Ⅱ)當點M、N與A共線時，， 　　∴＝，即＝， 　　化簡，得，－－－3分 　　，．(3) 　　把(*)式代入(3)，解得． 　　∴存在t，使得點M、N與A三點共線，且．－－－2分 　　(Ⅲ)解法1：易知g(t)在區(qū)間上為增函數， 　　∴， 　　則．－－－1分 　　依題意，不等式對一切的正整數n恒成立， 　　， 　　即對一切的正整數n恒成立．－－－2分 　　，， 　　．由于m為正整數，． 　　又當m＝6時，存在，，對所有的n滿足條件． 　　因此，m的最大值為6．－－－2分 　　解法2：依題意，當區(qū)間的長度最小時，得到的m最大值，即是所求值． 　　，∴長度最小的區(qū)間為[2，16]， 　　當時，與解法1相同分析，得， 　　解得．－－－－1分 　　后面解題步驟與解法1相同(略)．