設(shè)A，B為拋物線y2=2px（p＞0）上不同的兩點，O為坐標(biāo)原點，且OA⊥OB，則△OAB面積的最小值為（　�。�
A、p2
B、2p2
C、4p2
D、6p2
考點：拋物線的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：先設(shè)直線的方程為斜截式（有斜率時），代入拋物線，利用OA⊥OB找到k，b的關(guān)系，然后利用弦長公式將面積最后表示成k的函數(shù)，然后求其最值即可．最后求出沒斜率時的直線進(jìn)行比較得最終結(jié)果．
解答： 解：當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+b．
由
y=kx+b
y2=2px
消去y得k2x2+（2kb-2p）x+b2=0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由題意得△=（2kb-2p）2-4k2b2＞0，即kb＜
1
2
．
x1+x2=
2p-2kb
k2
，x1x2=
b2
k2
，
所以y1y2=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=
2bp
k
．
所以由OA⊥OB得
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=
b2
k2
+
2pbk
k2
=0
所以b=-2pk，①代入直線方程得y=kx-2pk=k（x-2p），
所以直線l過定點（2p，0）．
再設(shè)直線l方程為x=my+2p，代入y2=2px得y2-2pmy-4p2=0，
所以y1+y2=2pm，y1y2=-4p2，所以|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2

=
4m2p2+16p2
=
(4m2+16)p2
=
4m2+16
p，
所以S=
1
2
×2p2×
4m2+16
，
所以當(dāng)m=0時，S的最小值為4p2．
故選C
點評：本題考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系中的弦長問題中的最值問題，一般先結(jié)合韋達(dá)定理將要求最值的量表示出來，然后利用函數(shù)思想或基本不等式求最值即可．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的公差為2，且a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{
an
2n-1
}的前n項和為Sn，求證：Sn＜6．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，自然數(shù)列按正三角形圖順序排列，如數(shù)9排在第4行第3個位置；設(shè)數(shù)2015排在第m行第n個位置，則m+n=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)已知函數(shù)f（x）=2sin
π
6
xcos
π
6
x，過兩點A（t，f（t）），B（t+1，f（t+1）） 的直線的斜率記為g（t）
（1）求g（t）的解析式及其單增區(qū)間．
（2）若g（t0）=
4
5
，且t0∈（-
1
2
，1），求g（t0+1）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E是棱BC的中點，F(xiàn)是對角線A′C的中點，設(shè)
AB
=
a
，
BC
=
b
，
BB′
=
c
，用
a
，
b
，
c
表示
EF
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinωx-
3
cosωx+1（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期為6π．
（1）求ω的值；
（2）設(shè)α，β∈[0，
π
2
]，f（3α-
π
2
）=
1
17
，f（3β+π）=
11
5
，求cos（α+β）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a2+b2-c2=ab，則角C=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

△ABC中，若a=
2
3
3
，b=2，B=
π
3
，則A=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知AB=
6
，cosC=
3
3
，A=2C，則BC的長為
 
．

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