若關(guān)于x的方程
sinxcosx+1
sinx+cosx
-a=0
x∈(
4
,
4
)
內(nèi)恰有兩實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
(-
2
,-1]
(-
2
,-1]
分析:令sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)=t,則得 t∈[-
2
,0),a=
t2+1
2t
=
t
2
+
1
2t
,再利用基本不等式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:令sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)=t,則有 sinxcosx=
t2-1
2

x∈(
4
,
4
)
,∴π≤x+
π
4
≤2π,-1≤sin(x+
π
4
)≤0.
結(jié)合題意可得 t∈[-
2
,0),故 
sinxcosx+1
sinx+cosx
-a=0
 即
t2-1
2
+1
t
=a,即 a=
t2+1
2t
=
t
2
+
1
2t

∴-a=
-t
2
+
1
-2t
≥2
1
4
=1,當(dāng)且僅當(dāng)
-t
2
=
1
-2t
,即 t=-1時(shí),等號(hào)成立,故a≤-1,.
當(dāng)t∈(-
2
,0)時(shí),每一個(gè)t值,對(duì)應(yīng)了滿足 π≤x+
π
4
≤2π 的2個(gè)x值(x+
π
4
可能在第三象限,也可能在第四象限),
故答案為 (-
2
,-1].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換以及基本不等式的應(yīng)用,注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件,式子的變形是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(1,1),
q
=(1,0),<
n
,
p
>=
π
2
m
n
=-1;若△ABC的內(nèi)角A,B,C依次成等差數(shù)列,且A≤B≤C;
(1)若關(guān)于x的方程sin(2x+
π
3
)=
m
2
在[0,B]上有相異實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若向量
p
=(cosA,2cos2
C
2
),試求|
n
+
p
|的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若關(guān)于x的方程4x2+5x+k=0的兩根為sinθ,cosθ,請(qǐng)寫出一個(gè)以tanθ,cotθ為兩根的一元二次方程:
9x2-32x+9=0(不唯一)
9x2-32x+9=0(不唯一)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知向量數(shù)學(xué)公式=(1,1),數(shù)學(xué)公式=(1,0),<數(shù)學(xué)公式,數(shù)學(xué)公式>=數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式=-1;若△ABC的內(nèi)角A,B,C依次成等差數(shù)列,且A≤B≤C;
(1)若關(guān)于x的方程sin(2x+數(shù)學(xué)公式 )=數(shù)學(xué)公式 在[0,B]上有相異實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若向量數(shù)學(xué)公式=(cosA,2cos2 數(shù)學(xué)公式),試求|數(shù)學(xué)公式|的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知向量
m
=(1,1),
q
=(1,0),<
n
,
p
>=
π
2
m
n
=-1;若△ABC的內(nèi)角A,B,C依次成等差數(shù)列,且A≤B≤C;
(1)若關(guān)于x的方程sin(2x+
π
3
)=
m
2
在[0,B]上有相異實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若向量
p
=(cosA,2cos2
C
2
),試求|
n
+
p
|的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江西省宜春市上高二中高二(上)第三次月考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知向量=(1,1),=(1,0),<,>==-1;若△ABC的內(nèi)角A,B,C依次成等差數(shù)列,且A≤B≤C;
(1)若關(guān)于x的方程sin(2x+ )= 在[0,B]上有相異實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若向量=(cosA,2cos2 ),試求||的取值范圍.

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