Question

已知向量=（1，1），=（1，0），＜，＞= 且=-1；若△ABC的內角A，B，C依次成等差數列，且A≤B≤C；
（1）若關于x的方程sin（2x+ ）= 在[0，B]上有相異實根，求實數m的取值范圍；
（2）若向量=（cosA，2cos² ），試求||的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵2B=A+C 且A+B+C=π，∴B=． 令y=sin（2x+ ），x∈[0，]，則 2x+∈[，π]，∴．
∵關于x的方程sin（2x+ ）= 在[0，]上有相異實根，所以y=sin（2x+ ） ），即∈
所以．
（2）令=（x，y），∵=（1，1），=-1，所以x+y=-1．
又=（1，0），＜，＞=，所以=0，即x=0，故y=-1，
所以=（0，-1），=（cosA，2cos² ）=（cosA，1+cosC）．
所以||²=cos²A+cos²C=cos²A+cos²（ A）=1+cos（2A+ ）．
由A∈（0，，得2A+∈（，π]，得cos（2A+ ）∈[-1， ），
∴||²∈[， ），故||∈[ ）．
分析：（1）由條件求得B=，令y=sin（2x+ ），由 x∈[0，]求得y的值域，再由關于x的方程sin（2x+ ）= 在[0，]上有相異實根，所以y=sin（2x+ ） ），
由此求得∈，從而求得實數m的取值范圍．
（2）令=（x，y），由條件=-1可得x+y=-1．再由=（1，0），＜，＞=，求得以 和的坐標，可得||²=1+cos（2A+ ），再由A的范圍求出||的范圍．
點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式，兩個向量的數量積的公式，正弦函數的定義域和值域，求向量的模，屬于中檔題．