Question

6．設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$，且$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$的夾角為60°，則|$\overrightarrow{c}$|的最大值是2．

Answer 1

分析 由題意易得向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，易證A、O、B、C四點共圓，由正弦定理和圓的知識可得結(jié)論．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$，
∴向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°，
設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
則$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$，
則∠ACB=60°，∴∠AOB+∠ACB=180°，
∴A、O、B、C四點共圓，
∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$，∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
由正弦定理可得外接圓直徑2R=$\frac{AB}{sin∠ACB}$=2，
當(dāng)OC為直徑時，|$\overrightarrow{c}$|取最大值2
故答案為：2

點評 本題考查數(shù)量積與向量的夾角，涉及正弦定理和圓的知識，屬中檔題．