Question

11．（1）已知a＞0，b＞0，x＞0，y＞0，證明：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$≥$\frac{（\sqrt{x}+\sqrt{y}）^{2}}{a+b}$；
（2）若2x²+y²=1，求$\frac{9}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$的最小值；
（3）若當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，關(guān)于x的不等式$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$≥m²+8m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a＞0，b＞0，x＞0，y＞0，則（a+b）（$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$）展開(kāi)后，運(yùn)用基本不等式，即可得到；
（2）運(yùn)用（1）的結(jié)論，結(jié)合條件，即可得到最小值16；
（3）關(guān)于x的不等式$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$≥m²+8m恒成立，即有（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$）_min≥m²+8m，運(yùn)用（1）的結(jié)論，可得最小值9，再由二次不等式的解法，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）證明：由a＞0，b＞0，x＞0，y＞0，
則（a+b）（$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$）=x+y+$\frac{bx}{a}$+$\frac{ay}$≥x+y+2$\sqrt{\frac{bx}{a}•\frac{ay}}$=x+y+2$\sqrt{xy}$
=（$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$）²．當(dāng)且僅當(dāng)a$\sqrt{y}$=b$\sqrt{x}$，取得等號(hào)．
即有$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$≥$\frac{（\sqrt{x}+\sqrt{y}）^{2}}{a+b}$；
（2）由2x²+y²=1，結(jié)合（1）的結(jié)論，$\frac{9}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$≥$\frac{（3+1）^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$=16，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{2}$x=$\sqrt{3}$y，取得最小值16；
（3）關(guān)于x的不等式$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$≥m²+8m恒成立，即有
（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$）_min≥m²+8m，
由（1）的結(jié)論可得$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$=$\frac{4}{2x}$+$\frac{1}{1-2x}$≥$\frac{（2+1）^{2}}{2x+1-2x}$=9．
當(dāng)且僅當(dāng)2x=2（1-2x），即為x=$\frac{1}{3}$時(shí)，取得最小值9．
即有9≥m²+8m，解得-9≤m≤1．
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-9，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意等號(hào)成立的條件，以及變形的運(yùn)用，同時(shí)考查不等式恒成立思想，屬于中檔題和易錯(cuò)題．