Question

定義區(qū)間（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的長(zhǎng)度均為n-m，其中n＞m．
（1）求不等式

2x-1

x+3

＜1的解集所構(gòu)成的區(qū)間的長(zhǎng)度；
（2）若關(guān)于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長(zhǎng)度為

6

，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）求出不等式

2x-1

x+3

＜1的解集，便可得出區(qū)間的長(zhǎng)度
（2）觀察二次項(xiàng)的系數(shù)帶有字母，需要先對(duì)字母進(jìn)行討論，當(dāng)a等于0時(shí)，看出合不合題意，a≠0時(shí)，方程2ax²-12x-3=0的兩根設(shè)為x₁、x₂，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，寫(xiě)出兩根的和與積，表示出區(qū)間長(zhǎng)度，得到結(jié)果．

解答：解：（1）

2x-1

x+3

＜1化為

2x-1

x+3

-1＜0，即

x-4

x+3

＜0，同解于（x-4）（x+3）＜0，解得解集為（-3，4），區(qū)間的長(zhǎng)度為4-（-3）=7
（2a=0時(shí)不合題意； （1分）
a≠0時(shí)，方程2ax²-12x-3=0的兩根設(shè)為x₁、x2，則x₁+x₂=

6

a

，x₁x₂=-

3

2a

，
由題意知6=|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

36

a2

+

6

a

，
解得a=-2或a=3（舍），
所以a=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義問(wèn)題，時(shí)間上考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次不等式解法．新定義問(wèn)題，首先認(rèn)真閱讀理解所給新定義的內(nèi)容與意義，在轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法．