Question

（2009•上海模擬）定義區(qū)間（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的長度均為n-m，其中n＞m．
（1）若關(guān)于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為

6

，求實數(shù)a的值；
（2）求關(guān)于x的不等式sinxcosx+

3

cos2x＞0，x∈[0，2π]的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和；
（3）已知關(guān)于x的不等式組

6 x ＞1  log2x+log2(tx+3t)＜2

的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度和為6，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）觀察二次項的系數(shù)帶有字母，需要先對字母進行討論，當(dāng)a等于0時，看出合不合題意，a≠0時，方程2ax²-12x-3=0的兩根設(shè)為x₁、x₂，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，寫出兩根的和與積，表示出區(qū)間長度，得到結(jié)果．
（2）根據(jù)所給的三角函數(shù)式，利用二倍角公式進行化簡求值，根據(jù)三角函數(shù)的圖象寫出不等式成立的條件，寫出在規(guī)定范圍中的解集．
（3）先解關(guān)于x的不等式組，解出兩個不等式的解集，求兩個不等式的解集的交集，A∩B⊆（0，6），不等式組的解集的各區(qū)間長度和為6，寫出不等式組進行討論，得到結(jié)果．

解答：解：（1）a=0時不合題意；                                      （1分）
a≠0時，方程2ax²-12x-3=0的兩根設(shè)為x₁、x₂，則x1+x2=

6

a

，x1x2=-

3

2a

，
由題意知6=|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=

36

a2

+

6

a

，（2分）
解得a=-2或a=3（舍），（3分）
所以a=-2．                                                    （4分）
（2）因為sinxcosx+

3

cos2x=

1

2

sin2x+

3

2

(1+cos2x)=sin(2x+

π

3

)+

3

2

，
原不等式即為sin(2x+

π

3

)＞-

3

2

，x∈[0，2π]（6分）
不等式sin(2x+

π

3

)＞-

3

2

的解集為{x|kπ-

π

3

＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z}，（7分）
所以原不等式的解集為[0，

π

2

)∪(

2π

3

，

3π

2

)∪(

5π

3

，2π]（8分）
各區(qū)間的長度和為

5π

3

（9分）
（3）先解不等式

6

x

＞1，整理得

6-x

x

＞0，即x（x-6）＜0
所以不等式

6

x

＞1的解集A=（0，6）（10分）
設(shè)不等式log₂x+log₂（tx+3t）＜2的解集為B，不等式組的解集為A∩B
不等式log₂x+log₂（tx+3t）＞2等價于

x＞0 tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

（11分）
又A∩B⊆（0，6），不等式組的解集的各區(qū)間長度和為6，所以不等式組

tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

，
當(dāng)x∈（0，6）時，恒成立                                                 （12分）
當(dāng)x∈（0，6）時，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0（13分）
當(dāng)x∈（0，6）時，不等式tx²+3tx-4＜0恒成立，即t＜

4

x2+3x

恒成立        （14分）
當(dāng)x∈（0，6）時，

4

x2+3x

的取值范圍為(

2

27

，+∞)，所以實數(shù)t≤

2

27

（15分）
綜上所述，t的取值范圍為(0，

2

27

]（16分）

點評：本題考查一個新定義問題，即區(qū)間的長度，本題解題的關(guān)鍵是對于條件中所給的三種不同的題目進行整理變化，注意恒成立問題，這是高考題目中必出的．