【題目】(本題滿分14)

已知正項(xiàng)數(shù)列滿足:對(duì)任意正整數(shù),都有成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,且

)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;

)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(Ⅲ) 設(shè)如果對(duì)任意正整數(shù),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析;

【解析】分析:(I)通過已知得到關(guān)于數(shù)列的項(xiàng)的兩個(gè)等式,處理方程組得到,利用等差數(shù)列的定義得證;〔II〕利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出求出 ;(III) 先通過裂項(xiàng)求和的方法求出代入化簡(jiǎn)得到關(guān)于的二次不等式恒成立,構(gòu)造新函數(shù),通過對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論求出函數(shù)的最大值,令最大值小于,求出的范圍.

詳解:(I)由已知,得①,② .

③.代入得,

對(duì)任意,有

是等差數(shù)列.

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的公差為,

經(jīng)計(jì)算,得

(Ⅲ)由(1)得

不等式化為

設(shè),則對(duì)任意正整數(shù)恒成立.

當(dāng),即時(shí),不滿足條件;

當(dāng),即時(shí),滿足條件;

當(dāng),即時(shí),的對(duì)稱軸為,關(guān)于遞減,

因此,只需解得

綜上,

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開,會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì).弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖)如果小正方形的邊長(zhǎng)為1,大正方形的邊長(zhǎng)為5,直角三角形中較小的銳角為,則 ( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系xoy中,其中A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C,半徑為 ,且點(diǎn)P在圖中陰影部分(包括邊界)運(yùn)動(dòng).若 ,其中 ,則 的取值范圍是( )

A.[2,3+ ]
B.[2,3+ ]
C.[3- , 3+ ]
D.[3- , 3+ ]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

(1)若{an}是遞增數(shù)列,且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,求p的值;

(2)若p=,且{a2n1}是遞增數(shù)列,{a2n}是遞減數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(3)在(2)的條件下,令cn=n(an+1-an),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列命題:
①“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題;
②“梯形不是平行四邊形”的逆否命題;
③“若 ,則 ”的逆命題.
其中真命題是.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知矩形ABCD中,E、F分別是AB、CD上的點(diǎn),BE=CF=1,BC=2,AB=CD=3,P、Q分別為DE、CF的中點(diǎn),現(xiàn)沿著EF翻折,使得二面角A﹣EF﹣B大小為
(Ⅰ)求證:PQ∥平面BCD;
(Ⅱ)求二面角A﹣DB﹣E的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】過 軸上動(dòng)點(diǎn) 引拋物線 的兩條切線 、 , 、 為切點(diǎn),設(shè)切線 、 的斜率分別為 .

(Ⅰ)求證:
(Ⅱ)求證:直線 恒過定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)坐標(biāo);

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知ABC的面積為3,且滿足0≤≤6,設(shè)的夾角為θ.

(1)θ的取值范圍;

(2)求函數(shù)f(θ)=2sin2 (cos θ+sin θ)·(cos θ-sin θ)的最大值與最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定義在上的奇函數(shù)滿足,且在上是增函數(shù);

定義行列式; 函數(shù) (其中).

(1) 證明: 函數(shù)上也是增函數(shù);

(2) 若函數(shù)的最大值為4,求的值;

(3) 若記集合M={m|恒有g()<0},,

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