Question

已知函數(shù)的定義域為[m，n]，且1≤m＜n≤2．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：對任意x₁、x₂∈[m，n]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）由=，1≤m≤x＜n≤2，知，x²-mx+mn=x（x-m）+mn＞0，x+，令f′（x）=0，得x=，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）由（1）知，f（x）在[m，n]上的最小值為f（）=2，最大值為f（m）=，對任意x₁，x₂∈[m，n]，|f（x₁）-f（x₂）|≤=，由此能夠證明對任意x₁、x₂∈[m，n]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜1．
解答：解：（1）
=，
∴
=
=，
∵1≤m≤x＜n≤2，
∴，
x²-mx+mn=x（x-m）+mn＞0，
x+，
令f′（x）=0，得x=，
當x∈時，f′（x）＞0，
當時，f′（x）＜0．
∴f（x）在[m，]內(nèi)，單調(diào)遞減；
在[]內(nèi)，單調(diào)遞增．
（2）由（1）知，f（x）在[m，n]上的最小值為f（）=2，
最大值為f（m）=，
對任意x₁，x₂∈[m，n]，
|f（x₁）-f（x₂）|≤
=，
令，h（μ）=μ⁴-4μ²+4μ-1，
∵1≤m＜n≤2，
∴，
即，
∵h（μ）=4μ³-8μ+4
=＞0，
∴h（μ）在（1，）上是增函數(shù)，
∴h（μ）=4-8+4
=＜1，
∴對任意x₁、x₂∈[m，n]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜1．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．