Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分． 

已知數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，設(shè)，常數(shù)，數(shù)列．  

（1）求證：是等差數(shù)列；   

（2）若是遞減數(shù)列，求t的最小值； 

（3）是否存在正整數(shù)k，使重新排列后成等比數(shù)列？若存在，求k，t的值；若不

存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知，，……………………………………………………1分

因?yàn)?img width=169 height=45 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/387/74887.gif" >， 

∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列．……………………………4分

  （2）由（1）知，，，

恒成立，即恒成立，……………7分

因?yàn)?img width=117 height=40 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/396/74896.gif" >是遞減函數(shù)，

所以，當(dāng)n=1時取最大值，，…………………………………9分

因而，因?yàn)?img width=35 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/399/74899.gif" >，所以．………………………………………………………10分

   （3）記，，

，．

①若是等比中項(xiàng)，則由得化簡得，解得或（舍），……………………………………11分

所以，因而……………………………………………………………13分

及．…………………………………………………………………………………14分

②若是等比中項(xiàng)，則由得化簡得

，顯然不成立．………………………………………………………16分

③若是等比中項(xiàng)，則由得化簡得，因?yàn)?img width=164 height=20 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/422/74922.gif" >不是完全不方數(shù)，因而，x的值是無理數(shù)，顯然不成立．…………………………………18分