Question

已知曲線C₁：y=

x2

e

+e（e為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線C₂：y=2elnx和直線m：y=2x．
（I）求證：直線m與曲線C₁、C₂都相切，且切于同一點(diǎn)；
（II）設(shè)直線x=t（t＞0）與曲線C₁、C₂及直線m分別交于M、N、P，記f（t）=|MP|-|PN|，求f（t）在[e^-3，e³]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）可設(shè)直線m：y=2x與曲線曲線C₁：y=

x2

e

+e的切點(diǎn)為（a，b）再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f^′（a）=2求出a再代入曲線方程求出b，同理求出與曲線C₂的另一切點(diǎn)然后比較兩切點(diǎn)是否是同一點(diǎn)即可得出結(jié)論．
（Ⅱ）求出M，N，P點(diǎn)的坐標(biāo)然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|MP|，|NP|即可求出f（t），最后要求最大值只須利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（t）在區(qū)間[e^-3，e³]上的單調(diào)性即可求出最大值．

解答：解：（I）對于曲線C₁：y=

x2

e

+e，設(shè)切點(diǎn)P（a，b），有

2a

e

=2∴a=e，故切點(diǎn)為P（e，2e），
切線：y-2e=2（x-e），即y=2x．所以直線m與曲線C₁相切于點(diǎn)P（e，2e）
同理可證直線m與曲線C₂也相切于點(diǎn)P（e，2e）．
（II）由題意易得M（t，

t2

e

+e），N（t，2eln^t），P（t，2t）
∴由兩點(diǎn)間的距離公式可得|MP|=

t2

e

+e-2t，|PN|=2t-2eln^t，
∴f（t）=

t2

e

+2elnt-4t+e(e-3≤t≤e3)
f′(t)=

2t

e

+

2e

t

-4=

2(t-e)2

t

≥0
∴f（t）在[e^-3，e³]上單調(diào)增，故y_max=f（e³）=e⁵-4e³+7e．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)坐標(biāo)和利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性然后求函數(shù)的最值．解題的關(guān)鍵是要理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義在解題中的連接作用和如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性！