Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4
（1）若平面上有兩點(diǎn)A（1，0），B（-1，0），點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求使|AP|²+|BP|²取得最小值時(shí)P的坐標(biāo)；
（2）若Q是x軸上的點(diǎn)，QM，QN分別切圓C于M，N兩點(diǎn)，若|MN|=2

3

，求直線QC的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P的坐標(biāo)為（x，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出|AP|²+|BP|²，要使|AP|²+|BP|²取得最小值只要使|OP|最小即可，由P為圓上的點(diǎn)，得到|OP|的最小值為|OC|-r，求出最小值，由原點(diǎn)O坐標(biāo)與C坐標(biāo)，確定出直線OC的方程，與圓方程聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解得到x與y的值，即可確定出P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)Q（x₀，0），由圓的半徑及弦MN的長(zhǎng)，求出∠MCN的度數(shù)，進(jìn)而確定出∠MCQ的度數(shù)，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出|QC|的長(zhǎng)，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于x₀的方程，求出方程的解得到x₀的值，確定出Q的坐標(biāo)，即可確定出直線QC的方程．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），由點(diǎn)A（1，0），B（-1，0），
得到|AP|²+|BP|²=（x-1）²+y²+（x+1）²+y²=2（x²+y²）+2=2|OP|²+2，
∵P為圓上的點(diǎn)，
∴|OP|_min=|OC|-r=

32+42

-2=5-2=3，
∴（|AP|²+|BP|²）_min=2×3²+2=20，
此時(shí)直線OC：y=

4

3

x，
聯(lián)立得：

y= 4 3 x (x-3)2+(y-4)2=4

，
解得：

x= 9 5 y= 12 5

或

x= 21 5 ＞3 y= 28 5

（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

9

5

，

12

5

)；
（2）設(shè)Q（x₀，0），
∵圓C的半徑r=2，|MN|=2

3

，
∴∠MCN=

2π

3

，
又△QCN≌△QCM，∠MCQ=

π

3

，∠CMQ=

π

2

，|CM|=2，
∴|QC|=4，即（x₀-3）²+（0-4）²=16，
解得：x₀=3，
則所求直線QC的方程為x=3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：兩點(diǎn)間的距離公式，垂徑定理，銳角三角函數(shù)定義，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．