Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、、三點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程：
（2）若點(diǎn)D為橢圓上不同于、的任意一點(diǎn)，，當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時(shí)。求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；
（3）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線與直線的交點(diǎn)在直線上．

Answer 1

,

解：（1）設(shè)橢圓方程為
將、、代入橢圓E的方程，得
解得.
∴橢圓的方程                                                                                        
（2），設(shè)邊上的高為
當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，最大為，所以的最大值為．
設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823123712825299.gif" style="vertical-align:middle;" />的周長為定值6．所以，
所以的最大值為．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為                    
（3）法一：將直線代入橢圓的方程并整理．
得．
設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，
由根系數(shù)的關(guān)系，得．
直線的方程為：，它與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為
同理可求得直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．
下面證明、兩點(diǎn)重合，即證明、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等：
，


因此結(jié)論成立．
綜上可知．直線與直線的交點(diǎn)住直線上．                       
法二：直線的方程為：
由直線的方程為：，即
由直線與直線的方程消去，得


∴直線與直線的交點(diǎn)在直線上．