Question

11．設F為拋物線C：y²=2px的焦點，過F且傾斜角為60°的直線交曲線C于A，B兩點（B點在第一象限，A點在第四象限），O為坐標原點，過A作C的準線的垂線，垂足為M，則|OB|與|OM|的比為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點和準線方程，設出直線AB的方程，代入拋物線方程，消去x，求得y₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，y₂=$\sqrt{3}$p，運用兩點的距離公式，計算即可得到結論．

解答 解：拋物線C：y²=2px的焦點F（$\frac{p}{2}$，0），
準線為x=-$\frac{p}{2}$，
設直線AB：y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
聯立拋物線方程，消去x，可得
$\sqrt{3}$y²-2py-$\sqrt{3}$p²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，y₂=$\sqrt{3}$p，
由M（-$\frac{p}{2}$，y₁），
則|OM|=$\sqrt{\frac{{p}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{p}^{2}}{4}+\frac{{p}^{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{6}$p，
|OB|=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{{y}_{2}}^{4}}{4{p}^{2}}+{{y}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{9{p}^{4}}{4{p}^{2}}+3{p}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$p，
即有|OB|=3|OM|．
故選C．

點評 本題考查拋物線的方程和性質，主要考查拋物線的焦點和準線方程的運用，同時考查直線和拋物線聯立，求得交點，考查運算能力，屬于中檔題．