Question

19．要設(shè)計一個隧道，在隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個長方形和拋物線構(gòu)成（如圖所示），若車道總寬度AB為6m，通過車輛（設(shè)為平頂）限高3.5米，且車輛頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度只差至少為0.5m，則隧道的拱寬CD至少應(yīng)設(shè)計為（精確到0.1m．）（　　）參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732．

• A． 8.9m
• B． 8.5m
• C． 8.2m
• D． 7.9m

Answer 1

分析 先求出拋物線的解析式，再根據(jù)題意判斷該隧道能通過的車輛的最高高度即可得到結(jié)論．

解答 解：取拋物線的頂點為原點，對稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，C（a，-4），
設(shè)拋物線方程x²=-2py（p＞0），將點C代入拋物線方程得p=$\frac{1}{8}$a²，
∴拋物線方程為x²=-$\frac{1}{4}$a²y，
行車道總寬度AB=6m，
∴將x=3代入拋物線方程，y=-$\frac{36}{{a}^{2}}$，
∴限度為6-$\frac{36}{{a}^{2}}$-0.5=3.5m，
∴a=3$\sqrt{2}$≈4.242
則隧道的拱寬CD至少應(yīng)設(shè)計為8.484≈8.5m，
故選：B．

點評 本題主要拋物線的應(yīng)用問題時，要注意自變量的取值范圍還必須使實際問題有意義，屬于中檔題．