Question

（2013•石景山區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=

2

3

x3-2x2+(2-a)x+1，其中a∈R．
（Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，把a=2代入可得f(1)=-

1

3

，f'（1）=-2，由點斜式可寫直線的方程，化為一般式即可；
（Ⅱ）由△=8a，分a≤0，當(dāng)a＞0兩大類來判斷，其中當(dāng)a＞0時，又需分0＜a≤2，2＜a＜8，a≥8，三種情形來判斷，綜合可得答案．

解答：（Ⅰ）解：f（x）的定義域為R，且 f'（x）=2x²-4x+2-a，當(dāng)a=2時，f(1)=-

1

3

，f'（1）=-2，
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為 y+

1

3

=-2(x-1)，即 6x+3y-5=0．（4分）
（Ⅱ）解：方程f'（x）=0的判別式為△=（-4）²-4×2×（2-a）=8a．
（�。┊�(dāng)a≤0時，f'（x）≥0，所以f（x）在區(qū)間（2，3）上單調(diào)遞增，所以f（x）在區(qū)間[2，3]
上的最小值是f(2)=

7

3

-2a；最大值是f（3）=7-3a．
（ⅱ）當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，得 x1=1-

2a

2

，或x2=1+

2a

2

．f（x）和f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞， 1-

2a

2

)，(1+

2a

2

，+∞ )；單調(diào)減區(qū)間為(1-

2a

2

，1+

2a

2

)．
①當(dāng)0＜a≤2時，x₂≤2，此時f（x）在區(qū)間（2，3）上單調(diào)遞增，所以f（x）在區(qū)間[2，3]
上的最小值是f(2)=

7

3

-2a；最大值是f（3）=7-3a．
②當(dāng)2＜a＜8時，x₁＜2＜x₂＜3，此時f（x）在區(qū)間（2，x₂）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（x₂，3）上單調(diào)遞增，
所以f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是 f(x2)=

5

3

-a-

a 2a

3

．
因為 f(3)-f(2)=

14

3

-a，
所以 當(dāng)2＜a≤

14

3

時，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值是f（3）=7-3a；當(dāng)

14

3

＜a＜8時，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值是f(2)=

7

3

-2a．
③當(dāng)a≥8時，x₁＜2＜3≤x₂，此時f（x）在區(qū)間（2，3）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是f（3）=7-3a；最大值是f(2)=

7

3

-2a．
綜上可得，
當(dāng)a≤2時，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是

7

3

-2a，最大值是7-3a；
當(dāng)2＜a≤

14

3

時，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是

5

3

-a-

a 2a

3

，最大值是7-3a；
當(dāng)

14

3

＜a＜8時，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是

5

3

-a-

a 2a

3

，最大值是

7

3

-2a；
當(dāng)a≥8時，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是7-3a，最大值是

7

3

-2a．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，涉及切線方程問題，屬中檔題．