Question

若拋物線y²=2px上恒有關(guān)于直線x+y-1=0對稱的兩點A，B，則p的取值范圍是（ ）
A．（-，0）
B．（0，）
C．（0，）
D．（-∞，0）∪（，+∞）

Answer 1

【答案】分析：設出A，B兩點的坐標，因為A，B在拋物線上，把兩點的坐標代入拋物線方程，作差后求出AB中點的縱坐標，又AB的中點在直線x+y-1=0上，代入后求其橫坐標，然后由AB中點在拋物線內(nèi)部列不等式求得實數(shù)p的取值范圍．
解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因為點A和B在拋物線上，所以有①
②
①-②得，．
整理得，
因為A，B關(guān)于直線x+y-1=0對稱，所以k_AB=1，即．
所以y₁+y₂=2p．
設AB的中點為M（x，y），則．
又M在直線x+y-1=0上，所以x=1-y=1-p．
則M（1-p，p）．
因為M在拋物線內(nèi)部，所以．
即p²-2p（1-p）＜0，解得0＜p＜．
所以p的取值范圍是（）．
故選C．
點評：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了點差法，是解決與弦中點有關(guān)問題的常用方法，解答的關(guān)鍵是由AB中點在拋物線內(nèi)部得到關(guān)于p的不等式，是中檔題．