Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x－＋a(2－ln x)(a>0)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】f(x)的定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝.

設(shè)g(x)＝x2－ax＋2，對(duì)于二次方程g(x)＝0, 判別式Δ＝a2－8.

①當(dāng)Δ＝a2－8<0，即0<a<2時(shí)，對(duì)一切x>0都有f′(x)>0，此時(shí)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，無極值點(diǎn)．

②當(dāng)Δ＝a2－8＝0，即a＝2時(shí)，僅對(duì)x＝有f′(x)＝0，對(duì)其余的x>0都有f′(x)>0，此時(shí)f(x)在(0，＋∞)上也是增函數(shù)，無極值點(diǎn)．

③當(dāng)Δ＝a2－8>0，即a>2時(shí)，方程g(x)＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1＝，x2＝，0<x1<x2.

當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(0，x1)	x1	(x1，x2)	x2	(x2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		f(x1)		f(x2)

此時(shí)f(x)在(0，)上是增加的，在(，)上是減少的，在(，＋∞)上是增加的．x1＝是函數(shù)的極大值點(diǎn)，x2＝是函數(shù)的極小值點(diǎn)．